Contenidos Mínimos de Materias de Segundo Ciclo de Grado
Análisis I
Topología en R y en Rn. Límite de sucesiones. Límite de funciones de Rn en Rk Funciones continuas. Cálculo diferencial en varias variables: derivadas parciales, diferencial, teoremas de la función implícita y de la función inversa, aproximación polinomial. Extremos de funciones de varias variables, multiplicadores de Lagrange. Integrales dobles y triples, aplicaciones.
Álgebra I
Operaciones entre conjuntos. Funciones. Relaciones de equivalencia, particiones. Inducción completa. Definiciones inductivas. Análisis Combinatorio: combinaciones, permutaciones, variaciones. Números enteros: divisibilidad, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, números primos, teorema fundamental de la aritmética. Factorización. Congruencias. Números complejos: teorema de De Moivre, raíces n-ésimas de la unidad. Polinomios: teorema del resto, divisibilidad, teorema de Gauss.
Análisis II
Integrales sobre curvas y superficies. Teoremas de Green, Gauss y Stokes, campos conservativos. Aplicaciones. Ecuaciones diferenciales: teorema de existencia y unicidad, soluciones maximales. Sistemas de ecuaciones diferenciales: resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, diagramas de flujo, estabilidad lineal, sistemas conservativos.
Algoritmos y estructuras de datos I
Resolución de problemas simples de tratamiento de secuencias. Especificación e implementación de programas. Corrección formal de programas. Tipos básicos. Tipos abstractos de datos. Implementación de algoritmos sobre secuencias. Archivos secuenciales.
Algoritmos y estructuras de datos II
Recursión algorítmica. Tipos de datos abstractos recursivos. Pila, cola, diccionario, árbol, grafo, etc. Metodologías de especificación formal. Especificación formal e implementación de estos tipos sobre diversas estructuras de datos. Técnicas de análisis y de diseño de algoritmos. Prueba de la corrección de los programas construidos.
Laboratorio de Datos
Obtención y organización de datos. Procesamiento de datos no estructurados. Interacción con páginas web y con APIs. Formatos de datos. Herramientas para la visualización de datos: distintos tipos de figuras y lineamientos generales para comunicar información basada en datos. Visualización de datos como herramienta exploratoria antes del desarrollo de modelos y aprendizaje estadísticos. Análisis exploratorio de datos.Introdución al modelado. Modelos predictivos versus modelos explicativos. Distinción entre modelos univariados y multivariados, y modelos paramétricos y no-paramétricos. Herramientas de validación de un modelo. Muestras de testeo y entrenamiento.Métricas y métodos para la evaluación de algoritmos y modelos estadísticos. Métodos de Clasificación: K-NN, árboles de decisión. Técnicas de aprendizaje no supervisado: k-means, clustering jerárquico.
Álgebra lineal computacional
Espacios vectoriales y bases. Espacios vectoriales reales. Subespacios, sistemas de generadores e independencia lineal, bases, dimensión. Transformaciones lineales, representación matricial de una transformación lineal, subespacios fundamentales asociados a una matriz; núcleo, imagen, co-núcleo y coimagen. Formas bilineales, representación matricial. Aplicaciones.
Productos internos. Desigualdad de Cauchy-Schwarz, vectores ortogonales, desigualdad triangular. Normas, equivalencia de normas, normas matriciales. Matrices definidas positivas.
Sistemas lineales. Solución de sistemas lineales. Eliminación Gaussiana (caso regular), factorización LU. Factorización de matrices simétricas: Cholesky. Matrices ortogonales, factorización QR. Error y condicionamiento de matrices. Aplicaciones.
Autovalores y autovectores, propiedades básicas de los autovalores. Teorema de Gerschgorin. Bases de autovectores y diagonalización. Autovalores de matrices simétricas, el teorema espectral. El método de la potencia, el algoritmo QR. Valores singulares, la descomposición SVD. Descomposición de Schur. Forma canónica de Jordan. Aplicaciones. Matrices positivas, cadenas de Markov y Teorema de Perron-Frobenius.
Métodos iteración para sistemas lineales. Resolución iterativa de sistemas lineales, los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, SOR. Subespacio de Krylov. Gradiente conjugado. Aplicaciones.
Aproximación e Interpolación. Problemas de cuadrados mínimos. Interpolación funcional. Aplicaciones.
Análisis avanzado
Cardinalidad. Equivalencia de conjuntos. Conjuntos finitos, numerables y no numerables. No-numerabilidad de los números reales. Espacios métricos. Noción de distancia. Propiedades topológicas. Conjuntos abiertos y cerrados en Rn. Clausura, interior, frontera. Puntos de acumulación y puntos aislados. Compacidad. Teorema de Heine-Borel. Completitud. Continuidad. Teorema del punto fijo. Funciones Continuas. Lımite funcional. Continuidad por sucesiones. Propiedades de las funciones continuas sobre compactos. Continuidad uniforme. Discontinuidades de las funciones monótonas. Sucesiones de funciones. Convergencia puntual y uniforme. Rudimentos de la teoría de espacios normados. Espacios de Banach. Aplicaciones lineales continuas. Sucesiones y series de funciones. Espacios de Hilbert. Introducción a la teoría de la medida. Integral de Lebesgue en la recta. Conjuntos medibles. Teorema de convergencia monótona y mayorada. Medida abstracta.
Algoritmos y estructuras de datos III
Teoría de grafos. Diseño e implementación de problemas mediante grafos. Nociones de complejidad algorítmica y reducción polinomial de algoritmos. Recurrencia. Algoritmos exponenciales en tiempo. Soluciones aproximadas y técnicas heurísticas.
Probabilidad
Espacio muestral. Sucesos. Espacio de probabilidad. Límite superior e inferior de conjuntos. Probabilidad condicional e independencia de sucesos. Lema de Borel-Cantelli. Variables aleatorias. Función de distribución. Distribuciones usuales. Distribución conjunta. Independencia de variables aleatorias. Cambio de variables. Esperanza, varianza y covarianza. Teoremas de convergencia monótona y mayorada.
Distribución y esperanza condicional. Convergencia en probabilidad y en casi todo punto. Desigualdad de Markov y de Tchebychev. Ley débil de los grandes números. Desigualdad de Kolmogorov. Ley fuerte de los grandes números. Convergencia débil. Teorema de Helly. Funciones características. Teorema de inversión. Teorema de continuidad de Paul Levy. Teorema central del límite.
Introducción a la Investigación Operativa y la Optimización
Programación lineal. Problemas de planificación de la producción, transporte, logística, portfolio, etc. Método simplex. Dualidad, holgura complementaria y análisis de sensibilidad. Método de generación de columnas. Modelos en redes: máximo flujo, camino mínimo. Programación lineal entera. Versatilidad y técnicas de modelado. Problemas clásicos: viajante de comercio, ruteo de vehículos, coloreo de grafos, mochila. Técnicas de resolución: Branch&Bound, planos de corte, Branch&Cut y Branch&Price. Conceptos básicos de problemas de optimización no lineal. Aplicaciones en finanzas, negocios e ingeniería. Optimización sin restricciones. Óptimos locales y globales. Método de descenso, Newton, Quasi-Newton y direcciones conjugadas. Análisis de convergencia. Conceptos básicos de problemas de optimización con restricciones. Aplicaciones. Métodos barrera y penalidad. Programación cuadrática y convexa.
Introducción al Modelado Continuo
Módulo 1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Repaso de la teoría general. Métodos de Runge-Kutta. Aplicaciones en mecánica, biología y química. Introducción a la teoría de bifurcaciones.
Módulo 2. Análisis de Fourier. Estudio de Series de Fourier, Transformada de Fourier y Transformada de Laplace. Aplicación a la resolución de problemas de contorno y a problemas de compresión de señales.
Módulo 3. Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs). Presentación de diferentes problemas que resultan ser modelados por EDPs. Estudio de los 3 ejemplos centrales de la teoría: (a) Ecuación de Laplace; (b) Ecuación de Ondas; (c) Ecuación del Calor. Métodos de diferencias finitas y espectrales para la resolución numérica.
Introducción a la Estadística y Ciencia de Datos
Análisis exploratorio de datos: Visualización y resumen de datos. Función de distribución empírica. Estimación no paramétrica de la densidad. Árboles de decisión.
Estimación puntual:Estimación. Sesgo, varianza y Error Cuadrático Medio. Compromiso sesgo-varianza. Estimación plug-in utilizando el enfoque funcional. Estimación en modelos paramétricos: máxima verosimilitud, momentos, M y Z estimadores. Propiedades asintóticas: consistencia y distribución asintótica. Método delta.
Regiones de confianza: Intervalos de confianza para la media de una distribución normal con varianza conocida. Intervalos de confianza para la media de una distribución normal con varianza desconocida: Distribución t de Student. Intervalos de confianza de nivel asintótico basados en estadísticos asintóticamente normales. Intervalo para proporciones. Intervalos de confianza para dos muestras.
Técnicas de remuestreo: Métodos Bootstrap para la estimación de la varianza de un estimador asintóticamente normal. Métodos Bootstrap para la estimación de la distribución de un estimador. Intervalo de confianza Bootstrap: percentil y asintóticamente normal. Comparación con métodos clásicos. Bootstrap no paramétrico y paramétrico.
Tests de hipótesis: Presentación del problema de test de hipótesis. Hipótesis nula y alternativa. Tipos de errores. Nivel y potencia de un test. Valor “p”. Test para la media de una población normal con varianza conocida y con varianza desconocida. Tests de Wald (basados en estadísticos asintóticamente normales). Tests e intervalos de confianza para dos muestras. Relación entre tests e intervalos de confianza. El problema de comparaciones múltiples o cubrimiento simultáneo.
Modelo lineal: Regresión lineal simple. Mínimos cuadrados. Supuesto. Inferencia para los parámetros del modelo: bajo normalidad y teoría asintótica. Regresión lineal múltiple. Predicción.
Modelos de Regresión: Función de regresión. Estimación de la función de regresión. Estimadores no paramétricos: Nadaraya, kNN. Regresión no lineal. Ajuste y sobreajuste. Métodos de regularización (Ridge, Lasso, etc). Técnicas y métricas de evaluación de modelos-métodos (validación cruzada, etc.)
Clasificación: La regla de Bayes. Regresión logística, estimación de parámetros por máxima verosimilitud. Modelos generativos: LDA, QDA, Bayes Naive. Modelos discriminativos: kNN, clasificación logística. Técnicas y métricas de evaluación de modelos-métodos.
