Tesista: Delfina Belén Comerso Salzer
Director: Gabriela Jeronimo
Codirector: Malena Español
Resumen.
Los problemas de deconvolución ciega y semiciega que surgen en el contexto de restauración de imágenes fuera de foco pueden ser modelados como problemas de mı́nimos cuadrados no lineales separables. El método de proyección de variables (VarPro) es un método eficiente para la resolución de este tipo de problemas, transformando el problema original en un problema de mı́nimos cuadrados no lineales reducido, que puede ser resuelto mediante el método de Gauss-Newton. En este trabajo proponemos extender el método VarPro para resolver problemas de mı́nimos cuadrados no lineales separables con regularización Tikhonov en forma general, para abordar el problema de deconvolución semiciega. Introducimos términos regularizantes sobre los parámetros del operador de desenfoque e investigamos distintas variantes del método cuando se utilizan diferentes aproximaciones de la matriz Jacobiana. Estudiamos los casos especiales en los que existe una descomposición espectral conjunta de operadores directos y de regularización, proporcionando métodos eficientes para calcular los Jacobianos y la solución de los subproblemas lineales. Presentamos un análisis de convergencia local del método bajo hipótesis de diferenciabilidad y continuidad Lipschitz de los operadores involucrados, demostrando que bajo condiciones adecuadas el método puede alcanzar tasas de convergencia superlineales e incluso cuadráticas. Para los casos donde la demanda computacional para calcular Jacobianos y residuos en el método quasi-Newton se vuelve muy compleja se pueden utilizar métodos iterativos, especı́ficamente LSQR, para calcular Jacobianos y residuos aproximados. Esta tesis analiza el impacto de añadir estos nuevos términos regularizantes, ası́ como las aproximaciones en el método de proyección de variables. Presentamos experimentos numéricos donde aplicamos los métodos propuestos para resolver problemas de deconvolución semiciega, con el fin de ilustrar y confirmar nuestros resultados teóricos y la eficacia del método.
Palabras claves: Método de proyección de variables, Regularización de Tikhonov, Deconvolución semiciega, Descomposiciones espectrales, Problemas inversos, LSQR.
Buenos Aires, 2025
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Modelos y soluciones para la restauración de imágenes fuera de foco